Problème du transport laplacien
Phénomènes différents
Il y a plusieurs phénomènes différents en physique, chimie
et biologie qui s'appellent les problèmes du transport laplacien , [1]:
- diffusion à travers des membranes demi-perméables [3,4]
- problème d'électrode [3,4]
- catalyse hétérogène [6]
- RMN en milieux poreux [2]
Considèrons la diffusion des particules depuis une source planaire vers une membrane demi-perméable de géométrie assez compliquée. En régime stationnaire, la concentration des particules C satisfait l'équation de Laplace,
La concentration sur la source est constante. Le flux des particules à travers la surface de la membrane peut être representé différement. Près de la surface, c'est , où D est le coefficient de diffusion. D'autre part, la membrane a la perméabilité finie W, le flux à travers sa frontière est donc . Alors, nous obtenons la condition mixte aux limites
Le problème laplacien sous cette condition est considerablement plus compliqué que les problèmes sous des conditions de Dirichlet ou de Neumann.
Pour le problème d'électrode, c'est le potentiel électrique V qui s'obéit à l'équation de Laplace,
Le courant dans l'électrolyte avec la resistivité près de l'électrode complexe est . Le flux des électrons à travers la surface d'électrode est , où r est la resistivité de l'interface. Alors, nous obtenons encore la condition mixte aux limites
La catalyse hétérogène et la résonance magnétique nucléaire en milieux poreux peuvent être décrites par le même formalisme mathématique.
Pour résoudre ce problème, M.Filoche et B.Sapoval ont proposé
le programme suivant [3,4]:
- choisir la discrétisation appropriée;
- résoudre le problème discret;
- prendre la limite continue.
Ils ont introduit l'opérateur d'auto-transport brownien Q
qui contrôle les propriétés du transport laplacien et ne dépend
que de la géométrie de la membrane. Cet opérateur peut être défini
pour une membrane discrete donnée: Q(j,k) est la probabilité
du premier contact avec le site k si l'on part depuis le
site j de la membrane (sans toucher les autres sites!).
L'opérateur d'auto-transport brownien
Le problème du transport laplacien peut être résolu à l'aide de l'opérateur d'auto-transport brownien. C'est pourquoi nous s'occupons d'étudier les propriétés de cet opérateur.
En 1999, nous avons considéré la membrane planaire
parce qu'on peut calculer analytiquement toutes les caracteristiques
du transport laplacien et de l'opérateur d'auto-transport brownien.
Nous avons obtenu [5,6] que
- la densité d'états ne dépend presque pas
de la géométrie de la membrane; elles répétent
la densité d'états de la membrane planaire
qui était calculée explicitement.
- la contribution principale pour l'impédance spectroscopique
vient des vecteurs propres lentes correspondant
aux valeurs propres près de 1. Ce résultat peut être
une base de plusieurs approximations.
- le paramètre physique peut être considéré
comme la longueur d'absorption, c'est-à-dire qu'elle définit
la longueur de la région qui absorbe environ la moitié des particules.
En 2001, nous construisons explicitement l'opérateur d'auto-transport
brownien [8,9]. En utilisant la technique des fonctions caractéristiques,
nous avons trouvé la distribution des probabilités du premier contact
pour des membranes discretes sur un réseau hypercubique de d
dimensions. Nous avons établi les équations matricielles explicites
pour l'opérateur d'auto-transport brownien. Cela signifie qu'on peut
utiliser des méthodes simples de l'algèbre linéaire pour obtenir Q
de haute précision. Notre méthode possède des avantages différents :
- possibilité des recherches analytiques pour des membranes
générales;
- simplicité et efficacité des calculs numériques;
- études des membranes tri-dimensionnelles.