Considèrons la diffusion des particules depuis une source planaire vers une membrane demi-perméable de géométrie assez compliquée. En régime stationnaire, la concentration des particules C satisfait l'équation de Laplace,

La concentration sur la source est constante. Le flux des particules à travers la surface de la membrane peut être representé différement. Près de la surface, c'est , où D est le coefficient de diffusion. D'autre part, la membrane a la perméabilité finie W, le flux à travers sa frontière est donc . Alors, nous obtenons la condition mixte aux limites

Le problème laplacien sous cette condition est considerablement plus compliqué que les problèmes sous des conditions de Dirichlet ou de Neumann.

Pour le problème d'électrode, c'est le potentiel électrique V qui s'obéit à l'équation de Laplace,

Le courant dans l'électrolyte avec la resistivité près de l'électrode complexe est . Le flux des électrons à travers la surface d'électrode est , où r est la resistivité de l'interface. Alors, nous obtenons encore la condition mixte aux limites

La catalyse hétérogène et la résonance magnétique nucléaire en milieux poreux peuvent être décrites par le même formalisme mathématique.

Pour résoudre ce problème, M.Filoche et B.Sapoval ont proposé le programme suivant [3,4]:
- choisir la discrétisation appropriée;
- résoudre le problème discret;
- prendre la limite continue.
Ils ont introduit l'opérateur d'auto-transport brownien Q qui contrôle les propriétés du transport laplacien et ne dépend que de la géométrie de la membrane. Cet opérateur peut être défini pour une membrane discrete donnée: Q(j,k) est la probabilité du premier contact avec le site k si l'on part depuis le site j de la membrane (sans toucher les autres sites!).

L'opérateur d'auto-transport brownien

Le problème du transport laplacien peut être résolu à l'aide de l'opérateur d'auto-transport brownien. C'est pourquoi nous s'occupons d'étudier les propriétés de cet opérateur.

En 1999, nous avons considéré la membrane planaire parce qu'on peut calculer analytiquement toutes les caracteristiques du transport laplacien et de l'opérateur d'auto-transport brownien. Nous avons obtenu [5,6] que
- la densité d'états ne dépend presque pas de la géométrie de la membrane; elles répétent la densité d'états de la membrane planaire qui était calculée explicitement.
- la contribution principale pour l'impédance spectroscopique vient des vecteurs propres lentes correspondant aux valeurs propres près de 1. Ce résultat peut être une base de plusieurs approximations.
- le paramètre physique peut être considéré comme la longueur d'absorption, c'est-à-dire qu'elle définit la longueur de la région qui absorbe environ la moitié des particules.

En 2001, nous construisons explicitement l'opérateur d'auto-transport brownien [8,9]. En utilisant la technique des fonctions caractéristiques, nous avons trouvé la distribution des probabilités du premier contact pour des membranes discretes sur un réseau hypercubique de d dimensions. Nous avons établi les équations matricielles explicites pour l'opérateur d'auto-transport brownien. Cela signifie qu'on peut utiliser des méthodes simples de l'algèbre linéaire pour obtenir Q de haute précision. Notre méthode possède des avantages différents :
- possibilité des recherches analytiques pour des membranes générales;
- simplicité et efficacité des calculs numériques;
- études des membranes tri-dimensionnelles.