В физике существуют разнообразные явления, которые
можно назвать Переносом в Лапласовом поле , [1]:
- диффузия через полупроницаемые мембраны [3,4]
- задачи с электродами [3,4]
- гетерогенный катализ [6]
- ЯМР в пористых веществах [2]
Рассмотрим диффузию частиц с некоторого источника (обычно предполаемого плоским) к полупроницаемой мембране весьма сложной геометрии. В стационарном режиме концентрация частиц C удовлетворяет уравнению Лапласа,
Концентрация частиц у источника полагается постоянной.
Поток частиц через мембрану
можно вычислить двумя способами. Около границы
мембраны этот поток есть 
, где D
коэффициент диффузии. С другой стороны, мембрана обладает
конечной проницаемостью W, поэтому поток через
нее выражается как 
. Таким образом,
мы получаем смешанные граничные условия
Поиск решения уравнения Лапласа с такими условиями гораздо сложнее чем с привычными граничными условиями Дирихле или Неймана.
В задаче с электродами, электрический потенциал V подчинается уравнению Лапласа,
Ток в электролите с удельным сопротивлением
есть 
.
Поток электронов через поверхность электрода записываем как 
,
где r удельное сопротивление поверхности. Таким образом, снова
приходим к смешанным граничным условиям
Гетерогенный катализ и ЯМР в пористой среде описываются в рамках того же математического формализма.
Для решения задачи, М.Филош и Б.Саповаль предложили
следующую программу [3,4]:
- выбрать подходящую дискретизацию;
- решить дискретную задачу;
- перейти к непрерывному пределу.
Они ввели оператор Броуновского автопереноса Q
который управляет свойствами Лапласова переноса
и зависит только от геометрии поверхности мембраны.
Этот оператор легко определяется для данной
дискретной мембраны:
Q(j,k) есть вероятность первого контакта
с k-м узлом мембраны если движение началось с
j-го узла (не касаясь других узлов!).
В 1999, мы рассматривали плоскую мембрану.
В этом случае можно аналитически вычислить все характеристики
Лапласова переноса и оператора Броуновского автопереноса.
В [5,6] мы обнаружили, что
- плотность состояний практически не
зависит от геометрии мембраны и повторяет
плотность состояний плоской мембраны, которую мы
вычислили в явном виде.
- основной вклад в спектроскопический импенданс
происходит от плавных (медленных) собственных
векторов Q, которые соответствуют собственным
значениям около 1. Этот результат может быть
основой различных приближений.
- физический параметр 
можно рассматривать как длину поглощения, т.е. он определяет
длину области, которая поглощаеть примерно половину частиц.
В 2001 мы предложили метод для точного вычисления
оператора Броуновского автопереноса [8,9].
Используя характеристические функции, мы нашли
точное распределение вероятностей первого
контакта для мембран весьма общей геометрии на
d-мерной гиперкубической решетке.
Мы получили явное матричное уравнение для
оператора Броуновского автопереноса. Это означает,
что используя методы обычной линейной алгебры
можно получить Q с высокой точностью.
Наш метод имеет различные преимущества:
-- возможность теоретического анализа для общих
мембран;
-- простота и эффективность численных расчетов;
-- изучение трехмерных мембран.